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第五十四章 给学长学姐们讲题

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“对所有正整数n,证明:1!(2n-1)!-2!(2n-2)!+……-(2n-2)!2!+(2n-1)!1!=(2n)!/(n+1)。

这是一道加拿大国家集训队的训练试题,你们做做看。”

讲到第三节晚自习课的时候,林老师便给同学们出了一道题。

不过,同学们一听老师说这是一道加拿大国家集训队的训练试题时,顿时哀嚎一片,有几位同学更是连笔都不想动了。

成贤一中弄了两个竞赛辅导班,一个是物理竞赛辅导班,一个是数学竞赛辅导班,都是利用课余时间进行的。

有些被拉过来参加竞赛辅导的同学,对于竞赛其实根本就没啥兴趣,因为他们知道自己拿不了什么奖。

就算是那些成绩顶尖,平时考试的时候经常考年级前三的同学,也没想过能进省队啥的。

就不说省一了,要是能考个省二,他们就已经心满意足了。

在听了快两节课之后,赵贤才发现,这位林老师所讲的内容,大部分他在之前买的那些数学竞赛书里都有学习过。

现在林广强所说的这道出自加拿大国家集训队的训练试题,赵贤才之前也在竞赛书上看到并做过,因此他并没有动笔。

“不是说围绕着初赛的试题范围来讲吗?这都跑到外国的国家集训队试题上去了,这两个是一个难度?”

同学们纷纷在心里叫苦不迭,但也还是有不少同学在思考,甚至都已经有少数几个同学已经开始动笔了。

等了一会之后,讲台上的老师这才说道:“好了,都停下吧,有哪位同学已经写出来了?”

林老师讲完,只有一个同学举手。

既然只有这一位同学举手,林老师也就让他起来回答了。

不过,在听这位同学说完之后,林老师却是摇了摇头。

“不行,这题你用的方法不对。

虽然最后也能解出来,但太费时了。

还有更简单的方法你没想到,你要用我刚刚讲到的方法,坐下吧。

还有哪位同学做出来了?”

说完之后,林广强便看向了台下的学生们,这个时候就没有一位同学举手了。

“怎么,一个解答出来的都没有吗?

赵贤才,你写出来了吗?”

见没人举手,这老师便喊出了赵贤才的名字。

“老师,我做是做出来了。

但这题我之前做过,还看过答案。”赵贤才如实说道。

“没事,你再做个第二遍嘛,你上来把你之前做的写一下。”林广强道。

既然林广强话都说到这里了,那赵贤才也就只好上去了,他还没怎么给人讲过集训队的竞赛试题呢。

上学期给程志均他们讲解的几题,也是国内往年联赛的一些试题,和集训队的试题根本就不是一个难度。

“这题第一步先把右边的2n!移到左边来,这样左边的式子就可以用组合数来表示。

其实我们遇到这种题型,并且没有思路的时候,都可以利用这种方法试一试。

这样一来,就等于把原来的1!(2n-1)!-2!(2n-2)!+……-(2n-2)!2!+(2n-1)!1!=(2n)!/(n+1)看成是1/C(2n,1)-1/C(2n,2)+……-1/C(2n,2n-2)+1/C(2n,2n-1)=1/(n+1)。

因为等式1/C(2n+1,k)+1/C(2n+1,k+1)=(2n-k+1)/(2n+1)C(2n,k)+(k+1)/(2n+1)C(2n,k)=(2n+2)/(2n+1)*1/C(2n,k),所以我们可以将上面的等式中左边写成……”

对于这种不仅自己都已经做过一遍,而且还看过一遍答案的题目,赵贤才可是十分熟悉的。

他一走上讲台,便开始一边拿起粉笔在黑板上刷刷刷地写了起来,一边给同学们讲解起了这道题的解决思路和过程来。

这一刻,坐在讲台下方的这些已经步入高三的学生们,在赵贤才的眼里并不是学长学姐,而是一个个找他问问题的虞淑君。

“……=(2n+1)/(2n+2)*[1/C(2n+1,1)+1/C(2n+1,2n)]=1/(n+1)。

这样,这题就证明完了。”

当赵贤才把解题过程写完之后,他也已经讲完了。

现场先是安静了几秒钟,在林广强说出“很不错”这三个字的时候,台下的同学们这才全部都给赵贤才鼓起了掌。

“我草,牛逼呀,这方法确实比刚才那个简单了不少。”

“我怎么感觉他讲得比林老师要好?”

“难怪人家都已经开始做外国的竞赛试题了,有这个实力也就不足为奇了。”

台下许多人对于赵贤才的态度,立刻就因为这一题而发生了一百八十度的大转弯。

不过,还是有些人觉得这题赵贤才之前看过答案,并不觉得他真的有多厉害。

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